Kalmanův filtr

Kalmanův filtr je vhodný například pro trasování objektů. Umožňuje predikovat polohu, upřesnit ji na základě současného měření, a to vše v návaznosti na kvalitu hodnot. Kvalita hodnot je určena pomocí disperzí proměnných. Výsledkem je odhad trajektorie na základě nepřesných hodnot.

Kalmanův filtr se řadí mezi dynamickou filtraci. Jedná se o optimální řízení. Předpokládáme, že dynamický systém je buzen vstupním signálem, a výstupní hodnota je zatížena šumem (parametry vstupu i výstupního šumu známe).

Důležitou součástí kalmanova filtru je model systému (dynamický systém), který budeme sledovat. Na jeho základě vytváříme predikce. V okolí predikce můžeme očekávat výskyt hledaného objektu. Pokud objekt nenalezneme, pokračuje dále v predikci pro další krok, pouze prohledávané okolí se zvětší. V případě, že objekt nalezneme, provedeme korekci současné polohy (na základě predikce a měření) a pokračujeme v dalším kroku. Prohledávané okolí bude menší, protože předchozí hodnota je díky úspěšnému měření (detekci objektu) přesnější.

Kalmanův filtr může sloužit i k identifikaci systému, nebo k interpolaci (při změně měřítka, nebo na základě identifikovaného systému (který je výsledkem déletrvající identifikace = „průměrny“ systém))

Pro diskrétní kalmanův filtr je základem model systému v diskrétní (diskretizované) podobě

neboli stav systému v následujícím kroku je určen na základě minulého stavu (který se vyvine na základě matice vnitřních vazeb systému) a za působení vstupních signálů.

K předikci je možné vypočítat disperzi (, která je úměrná chybě,) této predikce, na základě které je možné určit okolí, ve kterém (by se měl) hledat predikovaný objekt. Disperze predikce se vypočte na základě současné nepřesnosti (která se vyvine na základě matice vnitřních vazeb systému) a na základě nepřesnosti vstupní veličiny (předpokládáme šum)

Poté provedeme měření, neboli zjistíme (či se o to pokusíme), kde se objekt nachází. Tato hodnota opět nemusí být úplně přesná a proto zavádíme model měření, kdy zjistíme hodnoty příslušných veličin (těch, které dokážeme změřit) zatížené chybou

Toto je hodnota, kterou srovnáme s veličinou predikovanou a na jejich základě vypočteme „střední“ hodnotu pro polohu objektu

Rozdíl mezi predikovanou a změřenou hodnotou se použije ke korekci hodnoty predikované na základě váhové matice zisku K. Ta respektuje situaci, ve které se nacházíme – v okamžiku, kdy predikce není kvalitní, tak se na korekci spoléháme více.

Po úspěšném měření (a korekci) upravíme i předpokládanou disperzi (jinak necháváme predikovanou hodnotu disperze)

V předchozím byly uvedeny vzorce diskrétního Kalmanova filtru pro diskrétní či diskretizovanou soustavu (diskrétní měření). Existují i verze spojité a také v nelineární verzi.

Metoda umožňuje provádět extrapolaci (zjištění polohy mimo měřené hodnoty, odhad budoucích hodnot) i interpolaci (zjištění polohy mezi měřeními)

Poslední úpravy 2008-10-17